Modal Companion
メモ
In logic, a modal companion of a superintuitionistic (intermediate) logic L is a normal modal logic that interprets L by a certain canonical translation, described below. Modal companions share various properties of the original intermediate logic, which enables to study intermediate logics using tools developed for modal logic.
https://en.wikipedia.org/wiki/Modal_companion
超直観主義論理/中間論理を様相命題論理で特徴づける概念
Ref
A. Chagrov, M. Zakharyashchev; 1992; "Modal Companions of Intermediate Propositional Logics"
Def: Modal Companion
memoGödel-McKinsey-Tarskiの定理を一般化する（という用法が正しいのかはよく知らない．）
$ \tauをGödel変換，命題論理$ \sf P\Lambdaと様相命題論理$ \sf M\Lambdaについて次が成り立つとき，$ \sf M\Lambdaは$ \sf P\LambdaのModal Companionという．
$ \Gamma \vDash_\mathsf{P\Lambda} \varphi \iff \tau(\Gamma) \vDash_\mathsf{M\Lambda} \tau(\varphi)
その事実を$ \sf \tau P\Lambda = M\Lambdaとして表すとする．
Examples
直観主義論理$ \sf iPL
超直観主義論理
弱い排中律の論理$ \sf wemPL
Gödel-Dummet論理$ \sf GD
古典論理$ \sf cPL
に対して以下のModal Companionが成り立つことが知られている．
$ \sf \tau iPL = S4: 様相論理S4
$ \sf \tau wemPL = S4.2: 様相論理S4.2
$ \sf \tau GD = S4.3: 様相論理S4.3
$ \sf \tau cPL = S5: 様相論理S5